ublo
bogdan's (micro)blog

bogdanel » mulțimi

01:05 am on Sep 15, 2013 | #more | tags:

de multe ori întrebările simple rămân fără răspuns. asta am învățat de la profesorul care ne-a predat geologia în liceu. nu-mi amintesc nici cele mai vagi noțiuni ale materiei, însă întrebările strecurate în lecții erau pe cât de banale, pe atât de provocatoare. așadar,

”ce este o mulțime?”

intuitiv, o colecție de obiecte toate îndeplinind aceeași condiție. ”mulțimea oamenilor cu înălțimea mai mare de 1.70m”, ”mulțimea autoturismelor negre din bucurești”, ”mulțimea firelor de păr pe care le am pe cap” etc. răspunsul este acceptabil la prima vedere, însă este incorect. să notăm cu M mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt membre în ele însele. atunci avem două situații:

  • M este membră în ea însăși, dar M este mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt membre în ele însele, deci M nu este membră în M (contradicție)
  • M nu este membră în ea însăși, dar M este mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt membre în ele însele , deci M este membră în M (contradicție)

altfel spus, definiția intuitivă dă naștere la paradoxuri (mai exact, acesta poartă numele lui Bertrand Russel). cu acest argument, orice puști mai curajos poate închide un profesor proaspăt ieșit din facultate.

răspunsul corect se bazează pe câteva axiome, asemănătoare axiomelor geometriei, descrise inițial de către Ernst Zermelo la trei ani după ce Einstein publica teoria specială a relativității. sistemul cel mai folosit este Zermelo-Fraenkel în care o mulțime este definită ca o relație binară între două obiecte, elemente a și mulțimi A, relație numită prin definiție apartenență. în plus, obiectele și relația de apartenență trebuie să satisfacă următoarele axiome:

  • axioma 1: două mulțimi sunt egale dacă orice element membru în prima mulțime este membru și în a doua mulțime și reciproc.
  • axioma 2: o mulțime nu poate fi mebră în ea însăși.
  • axioma 3: fiind dată o mulțime, pot construi o submulțime (o mulțime pentru care orice element este membru în mulțimea inițială, însă reciproca nu este întotdeauna valabil?) a mulțimii inițiale cu elementele ei care îndeplinesc o anumită condișie logică.
  • axioma 4: fiind date două mulțimi, există o mulțime care le are membre pe amândouă.
  • axioma 5: fiind dată o mulțime, există o mulțime care să conțină toți membrii membrilor mulțimii inițiale.
  • axioma 6: imaginea unei funcții oarecare definite pe o mulțime este tot o mulțime.
  • axioma 7: totalitatea numerelor naturale este o mulțime.
  • axioma 8: fiind dată o mulțime, există mulțimea tuturor submulțimilor mulțimii.
  • axioma 9: produsul cartezian al unei colecții de mulțimi nevide este nevid.

axioma 9, denumită și axioma alegerii este de departe cea mai controversată axiomă fundamentală. realtiv complex pentru definiția unui obiect atât de prezent în vocabularul nostru, însă la fel ca în cazul geometriei (care este prezentată în școli axiomatic), mulțimile ar trebui să se bucure de același avantaj (fiind obiecte fundamentale).

prezentată în acest fel, teoria mulțimilor devine liberă de paradoxuri, însă incompletă - în sensul teoremelor lui Kurt Goedel. observașia suport a acestei afirmații este că utilizând sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel de mai sus nu putem defini o mulțime a tuturor mulțimilor (axioma 2). despre această problemă într-un articol viitor.

Ernst Zermelo

Ernst Zermelo

noapte bună!

sursă foto: wikimedia